seychellesartprojects.org

Keskirajan lauseen määritelmä

Keskirajalauseen mukaan populaation satunnaismuuttujan satunnaisotokset minkä tahansa jakauman kanssa lähestyvät normaalia todennäköisyysjakaumaa otoksen koon kasvaessa ja oletetaan, että kun otoksen koko populaatiossa ylittää 30, keskiarvo otoksen kaikkien havaintojen keskiarvo b on lähellä yhtä suurta kuin populaation keskiarvo.

Keskirajalauseen kaava

Olemme jo keskustelleet siitä, että kun otoksen koko ylittää 30, jakauma on normaalijakauman muotoinen. Muuttujan normaalijakauman määrittämiseksi on tärkeää tietää sen keskiarvo ja varianssi. Normaalijakauma voidaan sanoa

X ~ N (µ, α)

Missä

• N = ei havaintoja
• µ = havaintojen keskiarvo
• α = keskihajonta

Useimmissa tapauksissa havainnot eivät paljasta paljoa raakana. Joten on erittäin tärkeää standardoida havainnot voidakseen verrata sitä. Se tehdään z-pistemäärän avulla. Z-pisteet on laskettava havainnolle. Kaava z-pistemäärän laskemiseksi on

Z = (X-µ) / α / √n

Missä

• Z = havaintojen Z-pisteet
• µ = havaintojen keskiarvo
• α = keskihajonta
• n = otoksen koko

Selitys

Keskirajalausekkeen mukaan populaation satunnaismuuttujan satunnaisotokset minkä tahansa jakauman kanssa lähestyvät normaalia todennäköisyysjakaumaa otoksen koon kasvaessa. Keskirajalauseessa oletetaan, että kun otoksen koko populaatiossa ylittää 30, otoksen keskiarvo, joka on kaikkien otoksen havaintojen keskiarvo, on lähellä yhtä suurta kuin populaation keskiarvo. Myös otoksen keskihajonta, kun otoksen koko ylittää 30, on yhtä suuri kuin populaation keskihajonta. Koska otos valitaan satunnaisesti koko populaatiosta ja otoksen koko on yli 30, se auttaa hypoteesien testauksessa ja hypoteesitestauksen luottamusvälin rakentamisessa.

Esimerkkejä Central Limit Theorem -kaavasta (Excel-mallilla)

Voit ladata tämän Central Limit Theorem Formula Excel -mallin täältä - Central Limit Theorem Formula Excel Template

Esimerkki 1

Ymmärretään normaalijakauman käsite esimerkin avulla. Sijoitusrahaston keskimääräinen tuotto on 12% ja keskihajonta sijoitusrahastosijoituksen keskimääräisestä tuotosta 18%. Jos oletamme, että tuoton jakauma jakautuu normaalisti, tulkitsemmekaa sitten sijoitusrahaston sijoituksen tuoton jakauma.

Koska

• Sijoituksen keskimääräinen tuotto on 12%
• Keskihajonta on 18%

Joten 95 prosentin luottamusvälin tuoton selvittämiseksi voimme selvittää sen ratkaisemalla yhtälön as

• Yläalue = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Alempi alue = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Tulos tarkoittaa, että 95% kertaa sijoitusrahaston tuotto on välillä 47% -23%. Tässä esimerkissä otoskoko, joka on satunnaisen otoksen, joka sisältää yli 30 palautushavaintoa, tuotto antaa meille sijoitusrahaston populaatiotuoton tuloksen, koska otosjakauma jakautuu normaalisti.

Esimerkki 2

Jatketaan samalla esimerkillä, määritetään, mikä on tulos 90%: n luottamusvälille

Koska

• Sijoituksen keskimääräinen tuotto on 12%
• Keskihajonta on 18%

Joten, jotta voidaan selvittää 90%: n luottamusvälin tuotto, voimme selvittää sen ratkaisemalla yhtälön as

• Yläalue = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Alempi alue = 12 - 1,65 (18) = -18%

Tulos merkitsee sitä, että 90% kertaa sijoitusrahaston tuotto on välillä 42% -18%.

Esimerkki 3

Jatkamme samalla esimerkillä, määritetään, mikä on tulos 99%: n luottamusvälille

Koska

• Sijoituksen keskimääräinen tuotto on 12%
• Keskihajonta on 18%

Joten, jotta voidaan selvittää 90%: n luottamusvälin tuotto, voimme selvittää sen ratkaisemalla yhtälön as

• Yläalue = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Alempi alue = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Tulos merkitsee sitä, että 99% kertaa sijoitusrahaston tuotto on välillä 58% -34%.

Osuvuus ja käyttö

Keskirajalause on erittäin hyödyllinen, koska sen avulla tutkija voi ennustaa koko populaation keskiarvon ja keskihajonnan otoksen avulla. Koska otos valitaan satunnaisesti koko populaatiosta ja otoksen koko on yli 30, mikä tahansa populaatiosta otettu satunnaisotoksen koko lähestyy normaalijakautumista, mikä auttaa hypoteesien testauksessa ja hypoteesin luottamusvälin rakentamisessa testaus. Keskirajalauseen perusteellatutkija pystyy valitsemaan minkä tahansa satunnaisotoksen koko populaatiosta ja kun otoksen koko on yli 30, hän voi ennustaa populaation otoksen avulla, koska näyte seuraa normaalijakaumaa ja myös keskiarvona ja otoksen keskihajonta on sama kuin populaation keskiarvo ja keskihajonta.